Analysis für Physiker und Ingenieure: Funktionentheorie, by Klaus Jänich

By Klaus Jänich

Aus den Besprechungen: "Dies ist ein Lehrbuch, wie ich es mir als scholar gewünscht hätte: Nahezu jeder Begriff wird vor seiner Einführung ausführlich motiviert, guy findet eine Unmenge (461 Stück!) von hervorragenden Figuren, jedes Kapitel enthält sowohl eine Einleitung, in der skizziert wird, 'wohin der Hase laufen soll', als auch eine Rückschau mit den wichtigsten Ergebnissen. guy findet reichlich Übungen (mit Lösungshinweisen) sowie a number of selection assessments (mit Lösungen) am Ende eines jeden Kapitels. Der Stil ist locker und unterhaltsam und unterscheidet sich wohltuend von den üblichen trockenen Mathematik-Lehrbüchern.
Ein hervorragendes Lehrbuch, dessen Lektüre nicht nur für Physiker und Ingenieure nützlich, sondern auch für Mathematikstudenten eine willkommene Ergänzung zum 'täglichen Brot' sein dürfte".
Zentralblatt für Mathematik

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Sie sind bzw. cos tanhz definiert man natürlich als die betreffenden Quotienten, sinz z cosz damit definiert und analytisch außerhalb der Nennernullstellen. Die Definitionen von Logarithmus, "Arcus"- und "Area"-Funktionen lassen sich freilich nicht so flott hinschreiben, denn das sollen ja Umkehrfunktionen von e', cosz, sinz, coshz, sinhz sein, und deshalb müßte man erst einmal untersuchen, zwischen welchen Gebieten diese Funktionen konforme Abbildungen stiften. Viele Eigenschaften der reellen elementaren Funktionen übertragen sich sofort auf ihre komplexen Verallgemeinerungen.

Lokal als Potenzreihe darstellen, und hieraus gewinnt man allgemeingültige Aussagen, zunächst theoretischer Art, über die Eigenschaften analytischer Funktionen, die dann mittelbar wieder praktische Konsequenzen haben. Darüber hinaus sind aber die Potenzreihen ein flexibles Instrument zur Herstellung von Funktionen mit gewissen Eigenschaften. Man macht dazu einen "Potenzreihenansatz", d. h. überlegt, welche Bedingungen die Koeffizienten a0 , a 1 , a 2 , ••• erfüllen müssen, um eine Funktion der gewünschten Art hervorzubringen, und oft genug ist die Suche nach solchen Koeffizienten viel einfacher als das Problem in seiner ursprünglichen Form.

2 Konformität 27 Diese anschaulichen Betrachtungen haben soweit mit Analytizität noch gar nichts zu tun, ja eigentlich nicht einmal mit komplexen Zahlen, denn sie gelten für jede "total differenzierbare", z. B. stetig partiell differenzierbare Abbildung von einem offenen Bereich G C jR2 in der reellen (x,y)-Ebene in die reelle (u, v)-Ebene, und daß eine Abbildung unter dem Mikroskop linear zu sein scheint, ist eben eine saloppe Ausdrucksweise für die totale DifferenzierbarkeiL Mit der linearen Abbildung jR2 -+ IR2 , die man unterm Mikroskop zu sehen glaubt, ist das Differential dfzo der Abbildung bei Zo gemeint, das ist bekanntlich die nahe Zo beste lineare Approximation für f; gegeben durch die Jacobi-Matrix, die Matrix der partiellen Ableitungen an der Stelle z0 , wobei wir hier, wie man häufig tut, die partiellen Ableitungen in der Index-Schreibweise notiert haben, also ux: = ~~ usw.

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